a) Do $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$ nên $\widehat{BAC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
b) Ta có $\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow $ tứ giác $AHOK$ có: $\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=\widehat{HAK}=90^o$
$\Rightarrow AHOK$ là hình chữ nhật, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Có $I$ là trung điểm của $AO\Rightarrow I $ là trung điểm của $HK$
$\Rightarrow H,K,I$ thẳng hàng (đpcm)
c) $\Delta ABO$ cân đỉnh $O$ có OH là đường cao nên OH cũng là đường phân giác, nên $\widehat{BOH}=\widehat{AOH}$
Xét $\Delta DBO$ và $\Delta DAO$ có:
$BO=AO$
$\widehat{BOD}=\widehat{AOD}$ (cmt)
$OD$ chung
$\Rightarrow \Delta DBO=\Delta DAO$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{DBO}=\widehat{DAO}=90^o$
Suy ra $DB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)
Do DB và DA là hai tiếp tuyến của (O) $\Rightarrow DA=DB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh tương tự $AE=CE$
Từ đó ta có: $BD+CE=AD+AE=DE$ (đpcm)
d) Ta có: $\widehat{DOE}=\widehat{HOK}=90^o$
$\Rightarrow \Delta DOE\bot O\Rightarrow $ tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DOE$ là trung điểm cạnh $DE$
Gọi G là trung điểm cạnh $DE$, để chứng minh $BC$ tiếp xúc với đường tròn đi qua 3 điểm $D,O,E$ thì cần chứng minh $GO\bot BC $ tại O thật vậy:
Tứ giác $BDEC$ là hình bình hành vì BD//CE (cùng $\bot $BC)
$G$ là trung điểm của $DE$
$O$ là trung điểm của $BC$
Do đó $OG $ là đường trung bình của hình bình hành $BDEC$
$\Rightarrow OG\parallel BD\parallel CE\Rightarrow OG\bot BC$ tại O (đpcm)
Vậy đường tròn đi qua 3 điểm D, O, E tiếp xúc với BC.
