$AB=AC\to \Delta ABC$ cân tại $A$
a) Chứng minh AM là tia phân giác góc BAC
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:
$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$MB=MC$ ( Vì $M$ là trung điểm $BC$ )
$\to \Delta AMB=\Delta AMC$ ( c.g.c )
$\to \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ( hai góc tương ứng )
$\to AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
b) Chứng minh AK=AN
$BN=CK$ ( giả thiết )
$\to BN-BC=CK-BC$
$\to CN=BK$
$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
Mà:
$\begin{cases}\widehat{ABC}+\widehat{ABK}=180{}^\circ\\\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180{}^\circ\end{cases}$ ( hai góc kề bù )
$\to \widehat{ABK}=\widehat{ACN}$
Xét $\Delta ABK$ và $\Delta ACN$, ta có:
$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\widehat{ABK}=\widehat{ACN}$ ( chứng minh trên )
$BK=CN$ ( chứng minh trên )
$\to \Delta ABK=\Delta ACN$ ( c.g.c )
$\to AK=AN$ ( hai cạnh tương ứng )
c) Chứng minh AM vuông góc với BC
Vì $\Delta AMB=\Delta AMC$ ( chứng minh ở câu a )
$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
Hay nói cách khác $AM\bot BC$
