`a)` Xét $∆ABC$ và $∆HBA$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{BAC}=\hat{BHA}=90°`
`=>∆ABC∽∆HBA` (g-g)
$\\$
`b)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)
`=>BC^2=5^2+12^2=169`
`=>BC=13`
$\\$
$\quad BD$ là phân giác `\hat{ABC}`
`=>{AD}/{CD}={AB}/{BC}=5/{13}`
`=>{AD}/5={CD}/{13}={AD+CD}/{5+13}={AC}/{18}={12}/{18}=2/ 3`
(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
`=>{AD}/5 =2/ 3=AD=2/ 3 .5={10}/3`
$\\$
Xét $∆ABD$ vuông tại $A$
`=>\hat{ADB}+\hat{ABD}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ADK}+\hat{ABD}=90°` $(1)$
$\\$
Xét $∆BKH$ vuông tại $H$
`=>\hat{BKH}+\hat{HBK}=90°` (hai góc phụ nhau)
Mà `\hat{AKD}=\hat{BKH}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{AKD}+\hat{HBK}=90°` $(2)$
Ta lại có:
`\hat{HBK}=\hat{ABD}` (do $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`) $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{AKD}=\hat{ADK}`
`=>∆ADK` cân tại $A$
`=>AK=AD={10}/3`
Vậy `AD=AK={10}/3`
$\\$
`c)` Xét $∆AHB$ và $∆HEB$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{AHB}=\hat{HEB}=90°`
`=>∆AHB∽∆HEB` (g-g)
`=>{BH}/{BE}={AB}/{HB}`
`=>BH^2=AB.BE`
$\\$
Xét $∆AHC$ và $∆HFC$ có:
`\qquad \hat{C}` chung
`\qquad \hat{AHC}=\hat{HFC}=90°`
`=>∆AHC∽∆HFC` (g-g)
`=>{CH}/{CF}={AC}/{HC}`
`=>CH^2=AC.CF`
$\\$
`=>{BH^2}/{CH^2}={AB.BE}/{AC.CF}={AB}/{AC}.{BE}/{CF}`
$\\$
Ta có: $\quad ∆ABC∽∆HBA$ (câu a)
`=>{AB}/{HB}={BC}/{BA}`
`=>AB^2=BH.BC`
$\\$
Xét $∆AHC$ và $∆BAC$ có:
`\qquad \hat{C}` chung
`\qquad \hat{AHC}=\hat{BAC}=90°`
`=>∆AHC∽∆BAC` (g-g)
`=>{CH}/{CA}={AC}/{BC}`
`=>AC^2=CH.BC`
$\\$
`=>{AB^2}/{AC^2}={BH.BC}/{CH.BC}={BH}/{CH}`
`=>{AB^4}/{AC^4}={BH^2}/{CH^2}={AB}/{AC}.{BE}/{CF}`
`=>{AB^3}/{AC^3}={BE}/{CF}`
