Đáp án:
a) Xét ΔHBA và ΔABC có:
+ góc BHA = góc BAC = 90 độ
+ góc B chung
=> ΔHBA ~ ΔABC (g-g)
b)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}\\
\Rightarrow \dfrac{{DB}}{8} = \dfrac{{DC}}{{16}}\\
\Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}
\end{array}$
Tam giác ABD và ACD có chung đường cao hạ từ A là AH nên:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ACD}}}} = \dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}\\
c)Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\
= {8^2} + {16^2} = 320\\
\Rightarrow BC = 8\sqrt 5 \left( {cm} \right)\\
Do:BD + CD = BC\\
\Rightarrow BD = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{3}\left( {cm} \right)\\
{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}AH.BC\\
\Rightarrow AH = \dfrac{{8.16}}{{8\sqrt 5 }} = \dfrac{{16\sqrt 5 }}{5}\left( {cm} \right)\\
d)Do:\Delta HBA \sim \Delta ABC\\
\Rightarrow \dfrac{{HB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\\
\Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{8^2}}}{{8\sqrt 5 }} = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{5}\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow HD = BD - HB = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{3} - \dfrac{{8\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{16\sqrt 5 }}{{15}}\\
\Rightarrow {S_{ADH}} = \dfrac{1}{2}.AH.HD\\
= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{16\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{16\sqrt 5 }}{{15}}\\
= \dfrac{{128}}{{15}}\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$
