a) Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$+) \quad AH^2 =BH.CH$
$\to AH^2 = BH.(BC - BH)$
$\to 12^2 = BH(25 - BH)$
$\to BH^2 - 25BH +144 =0$
$\to \left[\begin{array}{l}BH = 9\longrightarrow CH = 16\\BH = 16\longrightarrow CH = 9\end{array}\right.$
$\to \begin{cases}BH = 9\, cm\\CH = 16\, cm\end{cases}\qquad (Do\,\,AB<AC \to BH<CH)$
$+) \quad AB^2 = BH.BC$
$\to AB = \sqrt{BH.BC} = \sqrt{9.25} = 15\, cm$
$+) \quad AC^2= CH.BC$
$\to AC = \sqrt{CH.BC} = \sqrt{16.25} = 20\, cm$
b) Ta có: $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$
$\to AM = MB = MC = \dfrac12BC = \dfrac{25}{2}\, cm$
$\to \sin\widehat{AMH} = \dfrac{AM}{AH} = \dfrac{12}{\dfrac{25}{2}} = \dfrac{24}{25}$
$\to \widehat{AMH} \approx 73,74^\circ$
c) Ta có:
$HM = MB - BH = \dfrac{25}{2} - 9 = \dfrac{7}{2}\, cm$
$\to S_{AHM} = \dfrac12AH.HM = \dfrac12\cdot12\cdot\dfrac72 = 21\, cm^2$
