Đáp án:
$\begin{cases}AB = \sqrt{150 - 6\sqrt{577}} \, cm\\AC = \sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \, cm\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $x,y$ lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông $AB, AC$ $(x,y>0)$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Leftrightarrow 25 = x^2 + y^2$
Ta có:
$S_{ABC} = p.r$ Với $p$ là nửa chu vi và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}xy = \dfrac{x + y + 5}{2}.1$
$\Leftrightarrow xy = x + y + 5$
$\Leftrightarrow x + y = xy - 5$
$\Rightarrow (x+y)^2 = (xy - 5)^2$
$\Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 = x^2y^2 - 10xy + 25$
$\Leftrightarrow 25 + 2xy = x^2y^2 - 10xy + 25$
$\Leftrightarrow x^2y^2 - 12xy = 0$
$\Leftrightarrow xy(xy - 12) = 0$
Do $xy \ne 0$
nên $xy - 12 =0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{12}{y}$
$\Rightarrow \left(\dfrac{12}{y}\right)^2 + y^2 = 25$
$\Leftrightarrow y^4 - 25y^2 + 12 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y^2 = \dfrac{25 -\sqrt{577}}{2}\\y^2 = \dfrac{25+\sqrt{577}}{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = \sqrt{\dfrac{25 -\sqrt{577}}{2}} < r \quad (loại)\\y = \sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \quad (nhận)\end{array}\right.$
$\Rightarrow x = \dfrac{12}{\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}}} = \sqrt{150 - 6\sqrt{577}}$
Vậy $AB,AC$ lần lượt dài $\sqrt{150 - 6\sqrt{577}} \, cm$ và $\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \, cm$
