$\quad ∆ABC$ vuông tại $A$ (gt)
`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)
`=>BC^2-AB^2=AC^2=24^2`
$\\$
Vì độ dài `AB; BC` tỉ lệ nghịch với $13$ và $5$ nên:
`\qquad 13AB=5BC`
`=>{BC}/{13}={AB}/5`
`=>{BC^2}/{13^2}={AB^2}/{5^2}={BC^2-AB^2}/{13^2-5^2}={24^2}/{144}=4`
`\qquad ` (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
`=>{BC^2}/{13^2}=4=>BC^2=4.13^2=(2.13)^2`
`=>BC=26cm`
`\qquad {AB^2}/{5^2}=4=>AB^2=4.5^2=100`
`=>AB=10cm`
Chu vi $∆ABC$ là:
`\qquad P_{∆ABC}=AB+AC+BC`
`=10+24+26=60(cm)`
$\\$
Vẽ $ID\perp AB$ tại $D$; $IE\perp AC$ tại $E$; $IF\perp BC$ tại $F$
Vì $I$ là giao điểm 3 đường phân giác của $∆ABC$
`=>I` cách đều $3$ cạnh $∆ABC$ (tính chất)
`=>ID=IE=I F`
$\\$
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>S_{∆ABC}=1/ 2 AB.AC`
`=1/ 2 .10.24=120(cm^2)`
Ta lại có:
`\qquad S_{∆ABC}=S_{∆IAB}+S_{∆IAC}+S_{∆IBC}`
`=>120=1/ 2 .ID.AB+1/ 2 .IE.AC+1/ 2 .I F.BC`
`=>120=1/ 2 (ID.AB+ID.AC+ID.BC)` (do $ID=IE=IF$)
`=>240=ID.(AB+AC+BC)`
`=>240=ID.60`
`=>ID={240}/{60}=4cm`
Vậy chu vi $∆ ABC$ bằng $60cm$ và khoảng cách từ $I$ đến các cạnh của $∆ABC$ bằng $4cm$
