Đáp án:
`a,`
Xét `ΔBAD` và `ΔBKD` có :
`hat{BAD} = hat{BKD} = 90^o`
`BD` chung
`hat{ABD} = hat{KBD}` (giả thiết)
`-> ΔBAD = ΔBKD` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
$\\$
$b,$
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`
`-> hat{C} = 180^o - 90^o - 60^o`
`-> hat{C} = 30^o`
Vì `BD` là tia phân giác của `hat{B}`
`-> hat{DBC} = 1/2 hat{B} = 1/2 . 60^o`
`-> hat{DBC} = 30^o`
Có : `hat{C} = 30^o, hat{DBC} = 30^o`
`-> hat{C} = hat{DBC} = 30^o`
`-> ΔBDC` cân tại `D`
$\\$
Vì `ΔBDC` cân tại `D`
`DK` là đường cao
`-> DK` là đường trung tuyến
`-> K` là trung điểm của `BC`
$\\$
$\\$
$d,$
Vì `ΔBAD = ΔBKD` (chứng minh trên)
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}AB = KB=3cm\\AD = KD\end{array} \right.\) (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔADI` và `ΔKDC` có :
`hat{ADI} = hat{KDC}` (2 góc đối đỉnh)
`AD = KD` (chứng minh trên)
`hat{IAD} = hat{CKD} = 90^o`
`-> ΔADI = ΔKDC` (góc - cạnh - góc)
`-> hat{C} = hat{I} = 30^o` (2 góc tương ứng)
va `AI = KC` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AI = BI\\BK + KC = BC\end{array} \right.\)
mà `AB = KB, AI = KC`
`-> BI = BC`
`-> ΔIBC` cân tại `B`
mà `hat{B} = 60^o`
`-> ΔIBC` đều
Vì `BD` là tia phân giác của `hat{B}`
`-> hat{DBI}= 1/2 hat{B} =1/2 . 60^o = 30^o`
Có : `hat{I} = 30^o, hat{DBI} = 30^o`
`-> hat{I} =hat{DBI}= 30^o`
`-> ΔIDB` cân tại `D`
`DA` là đường cao
`-> DA` là đường trung tuyến
`-> A` là trung điểm của `BBI`
`-> AB = 1/2 AI`
`-> 3 = 1/2AI`
`->AI=6cm`
Xét `ΔIKB` vuông tại `K` có :
`KB^2 + IK^2 = IB^2` (Pitago)
`-> IK^2= IB^2 - KB^2`
`-> IK^2 = 6^2 - 3^2`
`-> IK^2 =27`
`-> IK = \sqrt{27}cm`
$\\$
Xét `ΔIBC` có :
`IK` là đường cao
`CA` là đường cao
`IK` cắt `CA` tại `D`
`-> D` là trực tâm của `ΔIBC`
mà`ΔIBC` đều
`-> D` là trọng tâm của `ΔIBC`
`-> DI = 2/3IK`
`-> DI = 2/3 . \sqrt{27}`
`-> DI = 3,5cm`
