Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AH \bot BC = H;BH = 1,8cm;CH = 3,2cm\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BC = BH + CH = 5cm\\
A{H^2} = BH.CH \Rightarrow AH = \sqrt {BH.CH} = 2,4cm\\
A{B^2} = BH.BC \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} = 3cm\\
A{C^2} = CH.CB \Rightarrow AC = \sqrt {CH.CB} = 4cm
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $AH = 2,4cm;AB = 3cm;AC = 4cm$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AB = 3cm;AC = 4cm;BC = 5cm\\
\Rightarrow \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}\\
\Rightarrow \widehat B \approx {53^0}\\
\Rightarrow \widehat C \approx {37^0}
\end{array}$
Vậy $\widehat B \approx {53^0};\widehat C \approx {37^0}$
c) Ta có:
$BD$ là tia phân giác của góc $B$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
$\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow DA = \dfrac{3}{5}DC$
Lại có:
$\begin{array}{l}
DA + DC = AC = 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}DC + DC = 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{8}{5}DC = 4\\
\Leftrightarrow DC = \dfrac{5}{2} = 2,5cm\\
\Rightarrow AD = 1,5cm
\end{array}$
Xét $\Delta ABD;\widehat {BAD} = {90^0};AB = 3cm;AD = 1,5cm$
$ \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2} \approx 3,354cm$
Vậy $BD \approx 3,354cm$
d) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABD;\widehat {BAD} = {90^0};AB = 3cm;AD = 1,5cm\\
\Rightarrow \tan \widehat {ABD} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{1,5}}{3} = \dfrac{1}{2}
\end{array}$
Mà $\dfrac{{AC}}{{AB + BC}} = \dfrac{4}{{3 + 5}} = \dfrac{1}{2}$
Nên $\tan \widehat {ABD} = \dfrac{{AC}}{{AB + BC}}$
Ta có đpcm.
