`a)` $AB=6cm;AC=8cm$
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100`
`=>BC=10cm`
$AM$ là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AM=1/ 2 BC= 1/ 2 .10=5cm`
$\\$
$AD$ là phân giác `\hat{BAC}`
`=>{BD}/{CD}={AB}/{AC}=6/ 8=3/ 4`
`=>{BD}/3={CD}/4={BD+CD}/{3+4}={BC}/7={10}/7` (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
`=>{BD}/3={10}/7=>BD={10.3}/7={30}/7cm`
`\qquad {CD}/4={10}/7=>CD={10.4}/7={40}/7cm`
$\\$
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>S_{∆ABC}=1/ 2 AB.AC=1/ 2 AH.BC`
`=>AB.AC=AH.BC`
`=>AH={AB.AC}/{BC}={6.8}/{10}=4,8cm`.
$\\$
Vẽ $DE;DF$ lần lượt vuông góc với $AB;AC$ $(E\in AB;F\in AC)$
Tứ giác $AEDF$ có:
`\hat{EAF}=\hat{AED}=\hat{AFD}=90°`
`=>AEDF` là hình chữ nhật
Mà `AD` là phân giác của `\hat{BAC}` (gt)
`=>AD` là phân giác của `\hat{EAF}`
`=>AEDF` là hình vuông
`=>DE=DF=AE=AF`
$\\$
$∆ADF$ vuông tại $F$
`=>AD^2=AF^2+DF^2=2DF^2` (định lý Pytago)
`=>AD=DF\sqrt{2}`
`=>DF={AD}/{\sqrt{2}}`
`=>1/{DF}={\sqrt{2}}/{AD}`
$\\$
$∆ABC$ có $DF$//$AB$ (cùng vuông góc $AC$)
`=>{DF}/{AB}={CD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)
$\\$
`=>DF={CD.AB}/{BC}={{40}/7 . 6}/{10}={24}/7cm`
`=>AD=DF\sqrt{2}={24}/7 .\sqrt{2}={24\sqrt{2}}/7cm`
$\\$
Vậy:
`AM=5cm; BD={30}/7cm;DC={40}/7cm;AH=4,8cm;AD={24\sqrt{2}}/7cm`
$\\$
`b)` $∆ABC$ có $DE$//$AC$ (cùng vuông góc $AB$)
`=>{DE}/{AC}={BD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)
`=>{DF}/{AC}={BD}/{BC}` (do $DE=DF$)
$\\$
`=>{DF}/{AB}+{DF}/{AC}={CD}/{BC}+{BD}/{BC}`
`=>DF. (1/{AB}+1/{AC})={CD+BD}/{BC}={BC}/{BC}=1`
`=>1/{DF}=1/{AB}+1/{AC}`
`=>{\sqrt{2}}/{AD}=1/{AB}+1/{AC}` (đpcm)
