Ta có: Đường trung tuyến AM.
$⇒ BM = MC$ (1)
Lấy điểm E trên tia đối của tia AM, sao cho $AM = EM$
Xét ΔAMB và ΔCME, có:
$\widehat{AMB}=\widehat{CME}$ (đối đỉnh)
$BM=MC$ (theo (1))
$AM=ME$ (gt)
$⇒ ΔAMB = ΔCME (c.g.c)$
$⇒ AB=EC$ (2 cạnh tương ứng) (2)
$⇒\widehat{ABM}=\widehat{ECM}$ (2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{ABM}$ và $\widehat{ECM}$ nằm ở góc so le trong.
$⇒AB║CE$
Ta có: $\widehat{BAM}$ và $\widehat{ECM}$ nằm cùng phía.
$⇒\widehat{BAM}+\widehat{ECM}=180^{o}$
Mà: $\widehat{BAM}=90^{o}$
$⇒\widehat{ECM}=180^{o}=180^{o}-\widehat{BAM}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$
$⇒\widehat{BAM}=\widehat{ECM}=90^{o}$ (3)
Xét ΔABC và ΔCEA, có:
$\widehat{BAM}=\widehat{ECM}=90^{o}$ (theo (3))
$AB=CE$ (theo (2))
AC chung
$⇒ΔABC = ΔCEA (c.g.c)$
$AE=BC$ (2 cạnh tương ứng) (4)
Mà: $AM+ME=AE$ hay $AM=\dfrac{1}{2}AE$ (5)
Từ $(4), (5) ⇒AM=\dfrac{1}{2}BC$ (đpcm)
