`a)` Xét $∆AMN$ và $∆NDC$ có:
`\hat{ANM}=\hat{NCD}` (hai góc đồng vị do $MN$//$BC$)
`\hat{MAN}=\hat{DNC}=90°` (hai góc đồng vị do $DN$//$AB$)
`=>∆AMN∽∆NDC` (g-g)
$\\$
`b)` $AN=8cm, BM=4cm$
Vì `2AM=3BM` (gt)
`=>AM=3/ 2 BM=3/ 2 .4=6cm`
$\quad ∆AMN$ vuông tại $A$
`=>S_{∆AMN}=1/ 2 AM.AN=1/ 2 .6.8=24cm^2`
$\\$
Ta có: `AB=AM+BM=6+4=10cm`
Xét $∆AMN$ và $∆ABC$ có:
`\hat{A}` chung
`\hat{AMN}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị do $MN$//$BC$)
`=>∆AMN∽∆ABC` (g-g)
`=>{AN}/{AC}={AM}/{AB}=6/{10}=3/ 5` (tỉ số đồng dạng)
`=>{AN}/{AC}=3/ 5`
`=>AC={5AN}/3={5.8}/3={40}/3cm`
$\\$
$\quad ∆ABC$ vuông tại $A$
`=>S_{∆ABC}=1/ 2 .AB.AC`
`\qquad =1/ 2 .10.{40}/3={200}/3cm^2`
$\\$
Ta có:
`\qquad NC=AC-AN={40}/3-8={16}/3cm`
Tứ giác $MNDB$ có:
`\qquad MN`//$BD$ (do $MN$//$BC$)
`\qquad DN`//$BM$ (do $DN$//$AB$)
`=>MNDB` là hình bình hành
`=>ND=BM=4cm`
$\\$
$\quad ∆NDC$ vuông tại $N$
`=>S_{∆NDC}=1/ 2 .ND.NC`
`\qquad =1/ 2 . 4.{16}/3={32}/3cm^2`
$\\$
Vậy `S_{∆AMN}=24cm^2;S_{∆ABC}={200}/3cm^2;S_{∆NDC}={32}/3cm^2`
