Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\Delta ADE$ cân ở $A$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD = AE\\
\widehat {ADE} = \widehat {AED}
\end{array} \right.$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AD = AE\\
\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\\
DB = EC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEC\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow AB = AC
\end{array}$
$ \Rightarrow \Delta ABC$ cân ở $A$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BMD} = \widehat {CNE} = {90^0}\\
BD = CE\\
\widehat {BDM} = \widehat {CEN}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta BMD = \Delta CNE\left( {ch - gn} \right)\\
\Rightarrow BM = CN
\end{array}$
c) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta BMD = \Delta CNE\\
\Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {ECN}\\
\Rightarrow \widehat {IBC} = \widehat {DBM} = \widehat {ECN} = \widehat {ICB}\\
\Rightarrow \widehat {IBC} = \widehat {ICB}
\end{array}$
$ \Rightarrow \Delta IBC$ cân ở $I$
d) Ta có:
$\Delta ABC$ cân ở $A$; $\Delta IBC$ cân ở $I$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IB = IC\\
AB = AC
\end{array} \right. \Rightarrow AI$ là đường trung trực của $BC$
Mà $\Delta ABC$ cân ở $A$
$\to AI$ là phân giác của $\widehat{BAC}$
e) Ta có:
$\Delta ABC$ cân ở $A$; $O$ là trung điểm của $BC$
$\to AO$ là trung tuyến đồng thời là phân giác của tam giác $ABC$
Mà $AI$ là phân giác của $\widehat{BAC}$
$\to A,O,I$ thẳng hàng.
f) Để $\Delta IBC$ đều
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \widehat {BIC} = {60^0}\\
\Leftrightarrow \widehat {BIO} = \dfrac{1}{2}\widehat {BIC} = {30^0}\\
\Leftrightarrow \widehat {MIA} = {30^0}\\
\Leftrightarrow \widehat {MAI} = {60^0}\left( {\Delta MAI;\widehat {IMA} = {{90}^0}} \right)\\
\Leftrightarrow \widehat {DAO} = {60^0}\\
\Leftrightarrow \widehat {DAE} = 2\widehat {DAO} = {120^0}
\end{array}$
Vậy $\Delta ADE$ có thêm điều kiện $\widehat {DAE} = {120^0}$ thì tam giác $IBC$ đều.
