Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔDEH` và `ΔDFH` có :
`EH = FH` (Do `H` là trung điểm của `EF`
`DH` chung
`DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)
`-> ΔDEH = ΔDFH` (cạnh - cạnh - cạnh)
$\\$
Do `ΔDEH = ΔDFH` (chứng minh trên)
`-> hat{DHE} = hat{DHF}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{DHE} + hat{DHF} = 180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{DHE} = hat{DHF} = 180^o/2 = 90^o`
hay `DH⊥EF`
$\\$
$\\$
$b,$
Do `ΔDEF` cân tại `D`
`-> hat{MEH} = hat{NFH}`
Xét `ΔMEH` và `ΔNFH` có :
`hat{EMH} = hat{FNH} = 90^o`
`EH = FH` (Do `H` là trung điểm của `EF`)
`hat{MEH} = hat{NFH}` (chứng minh trên)
`-> ΔMEH = ΔNFH` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> MH = NH` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔHMN` cân tại `H`
$\\$
$\\$
$c,$
Do `ΔMEH = ΔNFH` (chứng minh trên)
`-> EM =FN` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}DM =DE - EM\\DN = DF - FN\end{array} \right.\)
mà `DE =DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`, `EM=FN` (chứng minh trên)
`-> DM =DN`
`-> ΔDMN` cân tại `D`
`-> hat{DMN} = hat{DNM} = (180^o - hat{D})/2` `(1)`
Do `ΔDEF` cân tại `D`
`-> hat{DEF} = hat{DFE} = (180^o - hat{D})/2` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> hat{DMN} = hat{DEF} (= (180^o - hat{D})/2)`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ MN//EF$
$\\$
$\\$
$d,$
Do `ΔDEH = ΔDFH` (chứng minh trên)
`-> hat{EDH} = hat{FDH}` (2 góc tương ứng)
hay `DH` là tia phân giác của `hat{EDF}` `(3)`
Xét `ΔDEK` và `ΔDFK` có :
`hat{DEK} = hat{DFK} = 90^o`
`DK` chung
`DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)
`-> ΔDEK = ΔDFK` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> hat{EDK} = hat{FDK}` (2 góc tương ứng)
hay `DK` là tia phân giác của `hat{EDF}` `(4)`
Từ `(3), (4)`
`-> D,H,K` thẳng hàng
