Lời giải:
a) Xét $\triangle MEF$ và $\triangle MKD$ có:
$\begin{cases}\widehat{EMF} = \widehat{KMD}\quad \text{(đối đỉnh)}\\\widehat{MDK} = \widehat{MFE}\quad \text{(so le trong)}\\MF = MD\quad (gt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle MEF = \triangle MKD\ (g.c.g)$
$\Rightarrow ME = MK$
b) Xét $\triangle MEF$ và $\triangle NFE$ có:
$\begin{cases}MF = NE\quad (DF = DE)\\\widehat{MFE} = \widehat{NEF} \quad (gt)\\EF:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle MEF = \triangle NFE\ (c.g.c)$
$\Rightarrow ME = NF$
Xét $\triangle DEF$ có:
$EM$ là trung tuyến ứng với cạnh $DF\quad (gt)$
$FN$ là trung tuyến ứng với cạnh $DE\quad (gt)$
$EM$ cắt $FN$ tại $O\quad(gt)$
$\Rightarrow O$ là trọng tâm $\triangle DEF$
$\Rightarrow ON = \dfrac13FN$
$\Rightarrow ON = \dfrac13ME$
$\Rightarrow ON = \dfrac13MK$
$\Rightarrow MK = 3MO$
c) Ta có: $O$ là trọng tâm $\triangle DEF$ (câu b)
$\Rightarrow DO$ là trung tuyến ứng với cạnh $EF$
mà $\triangle DEF$ cân tại $D$
$\Rightarrow DO$ là đường cao ứng với cạnh $EF$
$\Rightarrow DO\perp EF$
Xét $\triangle DEO$ có:
$NE = ND = \dfrac12DE\quad (gt)$
$PE = PO = \dfrac12OE\quad (gt)$
$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của $\triangle DEO$
$\Rightarrow NP//DO$
$\Rightarrow NP\perp EF$
