Lời giải:
Trên đoạn $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $BD= DF$
$\Rightarrow \triangle BDF$ cân tại $D$
Xét $\triangle AEC$ và $\triangle BED$ có:
$\begin{cases}\widehat{CAE}=\widehat{CBD}\quad (gt)\\\widehat{AEC}=\widehat{BED}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{BDE}=\widehat{ACE}= 60^\circ$
$\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{ACB}= 60^\circ$
$\Rightarrow\triangle BDF$ đều
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{DBF}= 60^\circ\\BF = BD = DF\end{cases}$
Ta có:
$\widehat{DBF}=\widehat{BDC} +\widehat{CBF}= 60^\circ$
$\widehat{ABC}=\widehat{ABF} +\widehat{CBF}= 60^\circ$
$\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{DBC}$
Xét $\triangle ABF$ và $\triangle CBD$ có:
$\begin{cases}AB = BC\quad (gt)\\BF = BD\quad (cmt)\\\widehat{ABF}=\widehat{CBD}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABF =\triangle CBD\ (c.g.c)$
$\Rightarrow AF = CD$
Khi đó:
$AD = AF + DF = CD + DB\quad$ (đpcm)
