Cho tam giác $\displaystyle ABC,$ điểm $\displaystyle M$ thuộc cạnh $\displaystyle AB$ sao cho $\displaystyle 3\,AM=AB$ và $\displaystyle N$ là trung điểm của $\displaystyle AC.$ Tính $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ theo $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ và $\displaystyle \overrightarrow{AC}.$
A. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
B. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
C. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
D. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$