Đáp án: $12\sqrt3 cm^2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $I$ là tâm đường tròn, $(I)$ tiếp xúc với $MN, NP, PM$ lần lượt tại $A,C,B$
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MNP,\Delta MNP$ đều
$\to I$ đồng thời là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp
$\to MI$ là phân giác $\hat M$
$\to \widehat{AMI}=\dfrac12\hat M=30^o$ vì $\Delta MNP$ đều $\to \hat M=60^o$
Lại có $MN$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(I)\to IA\perp MN$
$\to\Delta IAM$ là nửa tam giác đều
$\to AM=IA\sqrt3=2\sqrt3$
$\to MN=2AM=4\sqrt3$
$\to S_{MNP}=\dfrac{MN^2\sqrt3}4=12\sqrt3$
