Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a)Xét tứ giác \(HDCE\) có: \(\left\{ \begin{align}  & \angle HEC={{90}^{o}} \\ & \angle HDC={{90}^{o}} \\\end{align} \right.\Rightarrow \angle HEC+\angle HDC={{180}^{o}}\)
Suy ra tứ giác \(HDCE\) nội tiếp đường tròn \(\Rightarrow \angle HDE=\angle HCE\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\))
Chứng minh tương tự có \(\angle FBH=\angle FDH\)
Mà có \(\angle FBH=\angle HCE\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\))
\(\Rightarrow \angle FDH=\angle HDE\) , suy ra \(HD\) là phân giác \(\angle FDE\)
Chứng minh tương tự ta có : \(HE\) là tia phân giác \(\angle FED\) ; \(FH\) là phân giác \(\angle DFE\)
Suy ra H là giao của 3 đường phân giác trong \(\Delta FDE\) , suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta FDE\ \ \left( dpcm \right)\)
b) Kéo dài \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(G\)  
Có\(\angle ACG={{90}^{o}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(BH//GC\) (do cùng vuông góc với \(\text{AC}\))
Chứng minh tương tự có \(HC//BG\)
\(\Rightarrow BHCG\) là hình bình hành  (do có 2 cặp cạnh đối song song) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH = GC\\HC = BG\end{array} \right.\)
Xét \(\Delta ACG\) có : \(MQ//GC\) (do cùng vuông góc với \(\text{AC}\))
\(\Rightarrow \frac{MQ}{GC}=\frac{AM}{AG}\) (định lí Ta-lét)
Chứng minh tương tự có \(\frac{PM}{BG}=\frac{AM}{AG}\)
\(\Rightarrow \frac{MQ}{GC}=\frac{PM}{BG}\left( =\frac{AM}{AG} \right)\)  
Mà có \(\left\{ \begin{align}  & BH=GC \\ & HC=BG \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{MQ}{BH}=\frac{PM}{HC}\Rightarrow \frac{MQ}{PM}=\frac{BH}{HC}\ \ \ \ \ \ \left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta FHB\) và \(\Delta EHC\) có:
 \(\angle FBH=\angle HCE\)  (do cùng phụ với \(\angle BAC\))
\(\angle BFH=\angle HEC={{90}^{o}}\)
\(\Rightarrow \Delta FHB\sim \Delta EHC\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{FH}{HE}=\frac{BH}{HC}\)                               (2)\(\)   \(\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{MQ}{PM}=\frac{FH}{HE}\Rightarrow MQ.HE=HF.MP\ \ \left( dpcm \right)\)
c)  Ta có
\(\begin{align}  & FH=AH.\sin (\angle BAD)=AH.\frac{BD}{AB} \\ & PM=BM.\sin (\angle ABD)=BM.\frac{AD}{AB} \\ & \Rightarrow FH.PM=AH.BM.\frac{BD}{AB}.\frac{AD}{AB}. \\\end{align}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(HE.QM=AH.MC.\frac{DC}{AC}.\frac{AD}{AC}\)
Ta có : \(HE.MQ=HF.MP\)
\(\Rightarrow AH.BM.\frac{BD}{AB}.\frac{AD}{AB}=AH.MC.\frac{DC}{AC}.\frac{AD}{AC}\Rightarrow \frac{BM}{MC}.\frac{BD}{DC}={{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right)\)