Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác \(BDI\) và tam giác \(CDI\) cân tại \(D\), từ đó suy ra \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBCSử dụng hệ thức lượng, ta đi chứng minh tam giác DIF đồng dạng với tam giác DEISử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếpGiải chi tiết:Ta có \(\widehat {IBD} = \widehat {IBC} + \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \widehat {DAC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {BAC}\) (1) (do \(AI,BI\) lần lượt là phân giác các góc \(BAC,ABC\) và tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn).Mặt khác \(\widehat {BID} = \widehat {IBA} + \widehat {IAB} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {BAC}\) (do \(AI,BI\) tương ứng là phân giác góc \(BAC,ABC\)) (2).Từ (1) và (2) ta được \(\widehat {BID} = \widehat {IBD} \Rightarrow \) tam giác \(DBI\) cân tại \(D\).Ta có \(\widehat {ICD} = \widehat {ICA} + \widehat {DCB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} + \widehat {DAB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} + \frac{1}{2}\widehat {BAC}\) (3) (do\(AI,CI\) lần lượt là phân giác các góc \(BAC,ACB\) và tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn).Mặt khác \(\widehat {CID} = \widehat {ICA} + \widehat {IAC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {BAC}\)  (4).Từ (3) và (4) ta được \(\widehat {CID} = \widehat {ICD} \Rightarrow \) tam giác \(DCI\) cân tại \(D\).Do tam giác \(DBI\) và \(DCI\) cân tại \(D\) nên \(DB = DI,\,\,DC = DI \Rightarrow DB = DC = DI \Rightarrow D\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IBC\). Theo câu a) ta có tam giác \(DCI\) cân tại \(D\) nên \(CD = DI\)Do \(OD\) là trung trực của \(BC\) suy ra \(F\) là trung điểm của \(BC\). Do \(DE\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) suy ra \(\widehat {DCE} = {90^0}\).Kết hợp với \(CF\) là đường cao của tam giác \(DCE\) nên \(C{D^2} = DF.DE = D{I^2}\)\( \Rightarrow \frac{{DI}}{{DF}} = \frac{{DE}}{{DI}}.\)Xét hai tam giác \(DIF\) và \(DEI\) có:\(\frac{{DI}}{{DF}} = \frac{{DE}}{{DI}}\) và \(\widehat {IDF} = \widehat {EDI}\) suy ra tam giác \(DIF\) đồng dạng với tam giác \(DEI\)Suy ra \(\frac{{IF}}{{IE}} = \frac{{ID}}{{DE}} \Leftrightarrow ID.IE = IF.DE\).Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác \(ABCD\) ta được:\(AB.DC + AC.DB = AD.BC\)\( \Leftrightarrow \left( {AB + AC} \right).DB = AD.BC\)\( \Leftrightarrow 3.BC.ID = AD.BC \Leftrightarrow 3.ID = AD \Leftrightarrow IA = 2.ID\)Gọi \(P\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AI\), suy ra \(MP = AP = PI = ID = \frac{1}{2}AI \Rightarrow I\) là trung điểm của \(PD\). Mặt khác \(I\) là trung điểm \(HM\) suy ra tứ giác \(MPHD\) là hình bình hành\( \Rightarrow MP = DH\).Từ đó suy ra DH = MP = DI (5).Chứng minh tương tự ta được DK = DI (6).Mặt khác theo kết quả phần a ta được DB = DC = DI (7).Từ (5), (6), (7) ta được DB = DC = DH = DK = DI suy ra \(B,C,H,K,I\) cùng thuộc đường tròn tâm \(D\).Do \(B,C,H,K,I\) cùng thuộc đường tròn tâm \(D\) nên \(\widehat {KBI} = \frac{1}{2}\)sđ,  \(\widehat {ICH} = \frac{1}{2}\)sđ.Do sđ sđTừ đó suy ra \(\widehat {KBI} = \widehat {HCI}\).