a,
E và D lần lượt nằm trên đường tròn đường kính BC nên:
\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD \bot DC\\
BE \bot EC
\end{array} \right.\)
Suy ra BD và CE là 2 đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC
Mà H là giao điểm của BD và CE nên H là trực tâm tam giác ABC
Do đó, \(AH \bot BC\)
b,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
AH \bot BC \Rightarrow HF \bot BC\\
\Rightarrow \widehat {BHF} = 90^\circ - \widehat {HBF} = \widehat {DCB}
\end{array}\)
$\widehat{HFB}=\widehat{CFA}$
Suy ra ΔHBF\( \sim \)ΔCAF (g.g)
Suy ra \(\dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{BF}}{{AF}} \Rightarrow HF.AF = FB.FC\)
c,
Tứ giác $AEHD$ có: $\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^o+90^o=180^o$
$\Rightarrow AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$
$K$ là trung điểm của $AH$ nên $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHD$
$\Rightarrow\widehat{EKD}=2\widehat{EAD}$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp)
Lại có $\widehat{EOD}=2\widehat{ECD}$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp)
Tứ giác $OEKD$ có:
$\widehat{EKD}+\widehat{EOD}=2\widehat{EAD}+2\widehat{ECD}$
$=2(\widehat{EAD}+\widehat{ECD})$ $(\text{mà }\Delta AEC\bot E)$
$=2.90^o=180^o$
$\Rightarrow O,E,K,D$ cùng thuộc một đường tròn.
