Đáp án + giải thích các bước giải:
Bài này hình như trúng đề thi Hà Nội năm nào đó và xuất hiện rất nhiều cách giải...
Cách 1:
Xét `(O)` có `OA=OC=R`
`->ΔAOC` cân tại `O`
`->\hat{OAC}=\hat{OCA}`
mà `\hat{AOC}=180^2-\hat{OAC}-\hat{OCA}`
`->\hat{AOC}=180^0-2\hat{OAC}`
Lại có `\hat{AOC}=sd` $\overparen{AC}$ (góc ở tâm)
mà `\hat{ABC}=1/2 sd` $\overparen{AC}$ (góc nội tiếp)
`->\hat{AOC}=2\hat{ABC}`
mà `\hat{AOC}=180^0-2\hat{OAC}`
`->2\hat{ABC}=180^0-2\hat{OAC}`
`->\hat{ABC}=90^0-\hat{OAC}`
mà `\hat{ABC}=\hat{AEF}` (góc ở đỉnh của một tứ giác nội tiếp bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện)
`->\hat{AEF}=90^0-\hat{OAC}`
`->\hat{AEF}+\hat{OAC}=90^0`
`->OA⊥EF`
Cách 2:
Kẻ tiếp tuyến `Ax` tại `A` của `(O) `
`->`$\left\{\begin{matrix} Ax \bot OA\\\widehat{CAx}=\dfrac{1}{2} sd \overparen{AC}\text{ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)} \end{matrix}\right.$
mà `\hat{ABC}=1/2` $sd \overparen{AC}$ (góc nội tiếp)
`->\hat{CAx}=\hat{ABC}`
mà `\hat{ABC}=\hat{AEF}` (góc ở đỉnh của một tứ giác nội tiếp bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện)
`->\hat{CAx}=\hat{AEF}`
`->Ax////EF`
mà `Ax⊥OA`
`->OA⊥EF`
Cách 3:
Kẻ đường kính `AI`
`->\hat{AIC}=` $sd \overparen{AC}$ (góc nội tiếp)
mà `\hat{ABC}=1/2` $sd \overparen{AC}$ (góc nội tiếp)
`->\hat{AIC}=\hat{ABC}`
mà `\hat{ABC}=\hat{AEF}` (góc ở đỉnh của một tứ giác nội tiếp bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện)
`->\hat{AIC}=\hat{AEF}`
Lại có `\hat{ACI}=90^0` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`->\hat{AIC}+\hat{IAC}=90^0`
mà `\hat{AIC}=\hat{AEF}`
`->\hat{AEF}+\hat{IAC}=90^0`
`->OA⊥EF`
Cách 4:
Kéo dài `BE` và `CF` cắt `(O)` lần lượt tại `M` và `N`
Tứ giác `BCEF` nội tiếp
`->\hat{EBF}=\hat{FCE}` (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{EBF}=\dfrac{1}{2} sd \overparen{AM}\\ \widehat{FCE}=\dfrac{1}{2} sd \overparen{AN} \end{matrix}\right.\text{ (góc nội tiếp)}$
`->`$sd \overparen{AM}=sd \overparen{AN}$
`->A` là điểm chính giữa cung `MN`
`->OA⊥MN` (quan hệ đường kính dây cung)
Từ tứ giác `BCEF` nội tiếp lại có `\hat{EFC}=\hat{EBC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
mà `\hat{EBC}=\hat{MNC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
`->\hat{EFC}=\hat{MNC}`
`->MN////EF`
Mà `OA⊥MN`
`->OA⊥EF`
