Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AH\perp BC$ tại $H\to BC$ là tiếp tuyến của $(O)$
Ta có $BE,BH$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to AB$ là phân giác $\widehat{EAH}$
$\to\widehat{EAH}=2\widehat{BAH}$
Tương tự $\widehat{FAH}=2\widehat{CAH}$
$\to\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{HAF}$
$\to\widehat{EAF}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}$
$\to\widehat{EAF}=2(\widehat{BAH}+\widehat{HAC})$
$\to\widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$
$\to\widehat{EAF}=2\cdot 90^o$
$\to\widehat{EAF}=180^o$
$\to E,A,F$ thẳng hàng
b.Ta có $BH,BE$ là tiếp tuyến của $(O)\to AE=HA$
Tương tự $AF=AH\to AE=AF$
$\to A$ là trung điểm $EF$
Vì $BE\perp AE, CF\perp AF\to BE\perp EF, CF\perp EF$
$\to BE//CF$
Mà $A,I$ là trung điểm $EF,BC$
$\to AI$ là đường trung bình hình thang $BEFC$
$\to IE//BE\to IA\perp EF$ vì $BE\perp EF$
Ta có: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=3\sqrt{5}$
Vì $I$ là trung điểm $BC\to IA=IB=IC=\dfrac12BC=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
Mà $AH\perp BC\to AH.BC=AB.AC(=2S_{ABC})$
$\to AH=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
$\to AE=AH=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
$\to EI=\sqrt{AI^2+AE^2}=\dfrac{3\sqrt{205}}{10}$
$\to \sin\widehat{AIE}=\dfrac{AE}{EI}=\dfrac{4}{\sqrt{41}}$
