Cho tập hợp A có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn. A. \({{2}^{19}}-1\). B. \({{2}^{19}}\). C. \({{2}^{20}}\). D. \({{2}^{20}}-1\).
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Số tập hợp con của A có: +) 2 phần tử: \(C_{20}^{2}\) +) 4 phần tử: \(C_{20}^{4}\) …. + 20 phần tử: \(C_{20}^{20}\) Suy ra, số tập hợp con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn là: \(S=C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+C_{20}^{6}+...+C_{20}^{20}\). Ta có: \({{(x+1)}^{20}}=\sum\limits_{i=0}^{20}{C_{20}^{i}{{x}^{i}}}\). Cho \(x=-1\Rightarrow {{(-1+1)}^{20}}=\sum\limits_{i=0}^{20}{C_{20}^{i}{{(-1)}^{i}}}=C_{20}^{0}-C_{20}^{1}+C_{20}^{2}-C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20}={{0}^{20}}=0\) Cho \(x=1\Rightarrow {{(1+1)}^{20}}=\sum\limits_{i=0}^{20}{C_{20}^{i}}=C_{20}^{0}+C_{20}^{1}+C_{20}^{2}+C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20}={{2}^{20}}\) Suy ra, \(\left( C_{20}^{0}-C_{20}^{1}+C_{20}^{2}-C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20} \right)+\left( C_{20}^{0}+C_{20}^{1}+C_{20}^{2}+C_{20}^{3}+...+C_{20}^{20} \right)=0+{{2}^{20}}\) \(\Leftrightarrow 2\left( C_{20}^{0}+C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20} \right)={{2}^{20}}\Leftrightarrow C_{20}^{0}+C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20}={{2}^{19}}\Leftrightarrow S={{2}^{19}}-C_{20}^{0}={{2}^{19}}-1\) \(\) Chọn: A