Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA, AC, BD.
Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ACD, PQ là đường trung bình của tam giác ABC.
Từ đó, ta suy ra MN//PQ(//AC).
Tương tự, ta cx cminh đc MQ//NP.
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành. Gọi O là giao của MP và NQ. Khi đó, O là trung điểm của MP và NQ.
CMTT ta cũng có tứ giác NSRQ là hình bình hành và giao nhau tại trung điểm của NQ và RS.
Vậy O thuộc MP, NQ và RS.
Vậy 3 đường trung bình đồng quy.
Ta có tchat của trọng tâm của tứ diện: " Cho tứ diện ABCD và điểm G. Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi thỏa mãn đẳng thức sau:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}$."
Dựa vào tchat trên, để cminh O là trọng tâm của tứ diện ABCD thì ta cminh
$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$.
Thật vậy, ta có
$VT = \vec{OM} + \vec{MA} + \vec{OP} + \vec{PB} + \vec{OP} + \vec{PC} + \vec{OM} + \vec{MD}$
$= 2\vec{OM} + 2\vec{OP}$ (do M và P là trung điểm AD và BC)
$= 2(\vec{OM} + \vec{OP})$
$= 2.\vec{0}$ (do O là trung điểm MP)
$= \vec{0} = VP$
Vậy O là trọng tâm tứ diện ABCD.
