Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh ME // AB và MF // CD, từ đó suy ra \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\).
- Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF: \(\cos \angle EMF = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}}\), từ đó tính \(\angle EMF\).
- Kết luận: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right) = \angle EMF\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\angle EMF \le {90^0}\\\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right) = {180^0} - \angle EMF\,\,\,khi\,\,\angle EMF > {90^0}\end{array} \right.\).
Giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có:
+ ME là đường trung bình của tam giác ABC nên ME // AB và \(ME = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\).
+ MF là đường trung bình của tam giác ACD nên MF // CD và \(MF = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\).
Do đó \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \angle EMF = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}} = - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle EMF = {120^0}\end{array}\)
Vậy \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right) = {180^0} - {120^0} = {60^0}\).
Chọn C.
