Cho tứ diện \(ABCD, \) gọi \(M, \,N \) lần lượt là trung điểm của \(BC \) và \((AD. \) Biết \(AB = CD = a, \, \,MN = \dfrac{{a \sqrt 3 }}{2}. \) Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB \) và \(CD. \) A.\({45^0}.\) B.\({30^0}.\) C. \({60^0}.\) D.\({90^0}.\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết: Gọi \(P\) là trung điểm của \(BD.\) Khi đó do \)(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AD\) nên ta có \(MP// = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2},\,\,\,NP// = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}.\) Do đó \(\left( {\widehat {AB,\,CD}} \right) = \left( {\widehat {MP,\,NP}} \right).\) Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(MPN\) ta có \(c{\rm{os}}\widehat {MPN} = \dfrac{{M{P^2} + N{P^2} - M{N^2}}}{{2MP.NP}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MPN} = {120^0}.\) Kéo theo \(\left( {\widehat {MP,\,NP}} \right) = {180^0} - {120^0} = {60^0}.\) Vì vậy \(\left( {\widehat {AB,\,CD}} \right) = {60^0}.\) Chọn C.