Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BN,\,\,CM\).A.B.\(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{22}}.\)C.\(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)D.\(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}.\)

Riibeo

2 năm trước

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BN,\,\,CM\).
A.
B.\(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{22}}.\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}.\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 16 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

dinhnhanha02032000

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
- Tứ diện đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với trọng tâm đáy.
- Tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(CM,\,\,BN\) ta xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(CM\) và song song với \(BN\).
- Đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng.
Giải chi tiết:
\(IK \bot MH\)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow AG \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\), kẻ đường thẳng song song với \(BN\) cắt \(BD\) tại \(E\), ta có: \(BN\parallel \left( {MCE} \right) \supset CM\).
\( \Rightarrow d\left( {BN;CM} \right) = d\left( {BN;\left( {MCE} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BG\), ta có \(MI\parallel AG\) (tính chất đường trung bình) \( \Rightarrow MI \bot \left( {BCD} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\) kẻ \(IH \bot CE\,\,\left( {H \in CE} \right)\), trong \(\left( {MIH} \right)\) kẻ \(\left( {K \in MH} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot IH\\CE \bot MI\,\,\left( {MI \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow CE \bot \left( {MIH} \right) \Rightarrow CE \bot IK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot CE\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {MCE} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {MCE} \right)} \right) = IK = d\left( {BN;\left( {MCE} \right)} \right) = d\left( {BN;CM} \right)\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABG\) có: \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\( \Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có: \(IH \bot CE,\,\,CE\parallel BN,\,\,BN \bot CD\)\( \Rightarrow IH\parallel CD\) hay \(IH\parallel CN\) .
Tứ giác \(INCH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}IH\parallel CN\\IN\parallel CH\end{array} \right.\) nên \(INCH\) là hình bình hành, do đó \(IH = CN = \dfrac{a}{2}\).
Vì \(MI \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(MI \bot IH\), suy ra tam giác \(MIH\) vuông tại \(I\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(IK = \dfrac{{MI.IH}}{{\sqrt {M{I^2} + I{H^2}} }}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\).
Vậy \(d\left( {BN;CM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho số phức \(z = 3m - 1 + \left( {m + 2} \right)i,\,\,\,m \in \mathbb{R}.\) Biết số phức \(w = m - 1 + \left( {{m^2} - 4} \right)i\) là số thuần ảo. Phần ảo của số phức \(z\) là:
A.\(1.\)
B.\(2.\)
C.\(-2.\)
D.\(3.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên bên dưới. Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\). Giá trị \(M - 2m\) bằng:
A.\( - 2\)
B.\(10\)
C.\(6\)
D.\(f\left( 2 \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f'\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right){}^3{\left( {x - 2} \right)^4}.\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.\(\left( {0;2} \right).\)
B.\(\left( {0;1} \right).\)
C.\(\left( {1;2} \right).\)
D.\(\left( { - \infty ;1} \right).\)

Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}.{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}.{b^6}} }}}}\)được kết quả là
A.\(a{b^2}.\)
B.\({a^2}b.\)
C.\(ab.\)
D.\({a^2}{b^2}.\)

Cho hình nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và độ dài đường sinh \(l = 4.\) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
A.\({S_{xq}} = 12\pi .\)
B.\({S_{xq}} = 4\sqrt 3 \pi .\)
C.\({S_{xq}} = \sqrt {39} \pi .\)
D.\({S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi .\)

Kí hiệu \(M,\,\,m\) lần lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - \sqrt {x - 2} \) trên \(\left[ {2;6} \right]\). Khi đó \(M - m\) bằng
A.\(\frac{9}{2}.\)
B.\(4\)
C.\(\frac{9}{4}.\)
D.\(2\)

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(SM = 2a\). Tính cosin góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy.
A.\(\dfrac{1}{2}.\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
C.\(\dfrac{1}{3}.\)
D.\(2\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên túc trên \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\) và có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;4} \right]\).
A.\(0\).
B.\(3\).
C.\(4\).
D.\(1\).

Cho số phức \(z = 3 + 4i\). Phần thực của số phức \(w = \overline z + \left| z \right|\).
A.5.
B.4.
C.3.
D.8.

Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA = a\), \(SA\) vuông góc với đáy. Biết đáy là tam giác vuông cân tại \(A\),\(BC = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
A.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
B.\(\dfrac{a}{3}.\)
C.\(a\sqrt 3 .\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến