Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), độ dài cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Biết cạnh bên hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ.
A.\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
B.\(3{a^3}\sqrt 3 \)
C.\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
D.\(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^3}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
B.\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
C.\(\left( { - 2;1} \right)\)
D.\(\left( {0; + \infty } \right)\)

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC ba đỉnh là \(A\left( {0;3;0} \right);\)\(B\left( {0;0;6} \right);\)\(C\left( {9;0;0} \right)\). Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là:
A.\((2;1;3)\)
B.\((3;1;2)\)
C.\((9;3;6)\)
D.\((1;2;3)\)

Trong không gian cho tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\), góc \(\angle IOM = {45^0}\)và cạnh \(IM = a\). Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh \(OI\) thì đường gấp khúc \(OIM\)tạo thành một hình nón tròn xoay. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó bằng:
A.\(\pi {a^2}\sqrt 2 \)
B.\(\pi {a^2}\sqrt 3 \)
C.\(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\pi {a^2}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\)\(AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt {17} }}{9}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{3}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt {17} }}{3}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{6}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\). Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tổng các giá trị của tham số thực \(m\) để \(M = \dfrac{{71}}{2}.\)
A.\(4\)
B.\(- 3\)
C.\(9\)
D.\(5\)

Tìm m để hàm số liên tục của hàm số tại \(x = 1\)
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {2x - 1}  - \sqrt[3]{{3{x^2} - 3x + 1}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\,\,khi\,\,x \ge \dfrac{1}{2},\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,{m^2}{x^2} + 2mx - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)
A.\(m =  - 1 - \sqrt 2 \).
B.\(m =  - 1 + \sqrt 2 \).
C.\(m =  1 \pm \sqrt 2 \).
D.\(m =  - 1 \pm \sqrt 2 \).

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({2^{x + y - 1}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 3x + 3y + 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).
A.\(1\)
B.\(\dfrac{3}{4}\)
C.\( - \dfrac{3}{4}\)
D.\(0\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bản biến thiên như sau :
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A.\(5\)
B.\(3\)
C.\(2\)
D.\(4\)

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), \(SA = SB = \sqrt 2 a\), khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)
B.\(2\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)
C.\(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\)