Gọi giao điểm của FI với BC là M
$\widehat{EMF}$ là góc ngoài đỉnh F của hai tam giác $\Delta MBF$ và $\Delta MIE$ có:
$\begin{cases}\widehat{EMF}=\widehat{F_1}+\widehat{MBF}\\\widehat{EMF}=\widehat{E_2}+\widehat{EIF}\end{cases}$
$\Rightarrow\widehat{E_2}+\widehat{EIF}=\widehat{F_1}+\widehat{MBF}$ (1)
Gọi $N$ là giao điểm của EI và CD
Chứng minh tương tự
$\widehat{EIF}+\widehat{F_2}=\widehat{NDE}+\widehat{E_1}$ (2)
Từ (1) và (2) công vế với vế và sử dụng giả thiết $\widehat {E_1}=\widehat{E_2},\widehat{F_1}=\widehat{F_1}$
Ta được:
$2\widehat{EIF}=\widehat{MBF}+\widehat{NDE}$
$=180^o-\widehat{ABC}+180^o-\widehat{ADC}$
$=360^o-(\widehat{ABC}+\widehat{ADC})$
$=360^o-(360^o-\widehat{BAD}-\widehat{BCD})$
$=\widehat {BAD}+\widehat{BCD}=\widehat A+\widehat C$
$\Rightarrow\widehat{EIF}=\dfrac{\widehat A+\widehat C}2$
