Giải thích các bước giải:
a) Xét 2 Δ ABC ta có M, N là trung điểm AB và BC
—► MN là đường trung bình
—► MN // AC và MN = 1/2 AC (1)
Tương tự như vậy với Δ ADC ta có:
PQ // AC và PQ = 1/2 AC (2)
Từ (1) và (2) —► MN // PQ và MN = PQ
—► tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
b) Tương tự xét Δ ABD ta có:
MQ // BD và MQ = 1/2 BD (3)
Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BD và MQ với AC ta có:
Theo (1) MN//AC nên:
—► ∠NMQ = ∠MFA (so le trong) (4)
Theo (3) MQ//BD nên:
—► ∠BEA = ∠MFA (đồng vị) (5)
Từ (4) và (5) —► ∠NMQ = ∠BEA
✪ Như vậy để MNPQ trở thành hình chữ nhật thì ∠NMQ = 90°
—► ∠BEA = 90° —► AC ⊥ BD
Cũng theo (1) và (3) ta có:
MN = 1/2 AC và MQ = 1/2 BD
✪ Như vậy để MNPQ trở thành hình thoi thì
MN = MQ —► AC = BD
✪ Và để MNPQ trở thành hình vuông thì nó đồng thời vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi tức phải thỏa cả 2 điều kiện trên:
AC ⊥ BD và AC = BD
