Gọi $I$ là trung điểm $AC$
Ta có:
$AM = MD \,(gt)$
$AI = IC$ (cách dựng)
$\Rightarrow MI$ là đường trung bình
$\Rightarrow MI//CD; \, MI= \dfrac{CD}{2}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$NI//AB; \, NI= \dfrac{AB}{2}$
Xét $∆MIN$ có:
$MI + IN \geq MN$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB + CD}{2} \geq MN$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow M, I, N $ thẳng hàng
$\Leftrightarrow MN//AB//CD$
$\Leftrightarrow ABCD$ là hình thang đáy $AB, CD$