Cho $x,y\ge 0$ thỏa mãn${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của$S=x+y-xy$ A. minS = 32, maxS = 2 B. minS = -1, maxS = -32 C. minS = 1, maxS = 32 D. minS = 2, maxS = 52
Đáp án đúng: C Chọn C. Đặt $t=x+y\Rightarrow t>0$. Ta có $\begin{array}{l}{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}\le 2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=4\Rightarrow t\le 2,\\{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\Rightarrow t\ge \sqrt{2}.\end{array}$ Suy ra$t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt{2},2]$. Lại có$xy=\frac{{{{{(x+y)}}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}}{2}=\frac{1}{2}{{t}^{2}}-1\Rightarrow S=f(t)=-\frac{1}{2}{{t}^{2}}+t+1$ Ta có$f'(t)=-t+1>0$ với mọi$t\in (\sqrt{2};2),\,f(2)=1,\,f(1)=\frac{3}{2}.$ Do đó