Đáp án:
$ GTNN$ của $\sqrt[3]{xy + y²} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$
$ GTLN$ của $\sqrt[3]{xy + y²} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$
Giải thích các bước giải:
Đặt $A = \sqrt[3]{xy + y²} ⇔ 2A³ = 2xy + 2y² $
Áp dụng $BĐT$ Bunnhiacopsky:
$ - \sqrt[]{2(a² + b²)} ≤ a + b ≤ \sqrt[]{2(a² + b²)}$
Với $ a = 2xy; b = (y² - x²)$
$ 2A³ - 1 = 2xy + 2y² - (y² + x²) = 2xy + (y² - x²)$
$ ⇔ - \sqrt[]{2[4x²y² + (y² - x²)²]} ≤ 2A³ - 1 ≤ \sqrt[]{2[4x²y² + (y² - x²)²]}$
$ ⇔ - \sqrt[]{2(y² + x²)²} ≤ 2A³ - 1 ≤ \sqrt[]{2(y² + x²)²}$
$ ⇔ - \sqrt[]{2} ≤ 2A³ - 1 ≤ \sqrt[]{2}$
$ ⇔ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{2} ≤ A³ ≤ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}$
$ ⇔ \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{2}} ≤ A ≤ \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$
$ GTNN$ của $A = \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$
Đạt được khi $ 2xy = y² - x² ⇒ 4x²y² = (y² - x²)² ⇔ 8x²y² = (x² + y²)² = 1$
$⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {8x²y² = 1}} \right. ⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {2\sqrt[]{2}xy = - 1}} \right. ⇔ \left \{ {{x = \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = - \frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $ hoặc $ \left \{ {{x = -\frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = \frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $
$ GTLN$ của $A = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$
Đạt được khi $ 2xy = y² - x² ⇒ 4x²y² = (y² - x²)² ⇔ 8x²y² = (x² + y²)² = 1$
$⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {8x²y² = 1}} \right. ⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {2\sqrt[]{2}xy = 1}} \right.⇔ \left \{ {{x = \frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $ hoặc $ \left \{ {{x = -\frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = - \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $
