Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Xét hàm đặc trưng, tìm mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\).
- Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \({y^2}
e 0\), đặt ẩn phụ \(t = \dfrac{x}{y}\), tìm khoảng giá trị của \(t\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN, GTNN của biểu thức \(P\).
Giải chi tiết:Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 5{y^2}} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right) + {\log _2}2 + 2\left( {{x^2} + 5{y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 10{y^2}} \right) + 2\left( {{x^2} + 5{y^2}} \right) \le {\log _2}\left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), mà ta lại có \(f\left( {2{x^2} + 10{y^2}} \right) = f\left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right)\).
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 10{y^2} \le {x^2} + 10xy + {y^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - 10\left( {\dfrac{x}{y}} \right) + 9 \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{x}{y} \le 9\).
Ta có: \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + 9{y^2}}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + \dfrac{x}{y} + 9}}{{\dfrac{x}{y} + 1}}\).
Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\) , điều kiện : \(1 \le t \le 9\) ta có: \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + t + 9}}{{t + 1}}\).
Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 8}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\(f\left( 1 \right) = \dfrac{{11}}{2},\,\,f\left( 2 \right) = 5,\,\,f\left( 9 \right) = \dfrac{{99}}{{10}}.\)
Nên \(M = \dfrac{{99}}{{10}}\) , \(m = 5\). Vậy \(T = 10M - m = 94\).
Chọn B.
