Đáp án:
`P_{min}=2017` khi `x=y=1`
Giải thích các bước giải:
Vì `x+y=2`
`=>(x+y)^2=2^2=4`
`<=>x^2+y^2+2xy=4`
`<=>x^2+y^2=4-2xy`
$\\$
Với mọi `x;y>0` ta có:
`\qquad (x-y)^2\ge 0`
`<=>x^2+y^2-2xy\ge 0`
`<=>x^2+y^2-2xy+4xy\ge 4xy`
`<=>(x+y)^2\ge 4xy`
`<=>2^2\ge 4xy`
`<=>-xy\ge -1`
Ta có:
`P=(x^4+1)(y^4+1)+2013`
`=x^4y^4+x^4+y^4+1+2013`
`=x^4y^4+(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1+2013`
`=(x^2y^2)^2-2x^2y^2 . 1 +1+(4-2xy)^2+2013`
`=(x^2y^2-1)^2+16-16xy+4x^2y^2+2013`
`=(x^2y^2-1)^2+4(x^2y^2-2xy+1)-8xy+12+2013`
`=(x^2y^2-1)^2+4(xy-1)^2-8xy+2025`
`\ge (x^2y^2-1)^2+4(xy-1)^2+8.(-1)+2025`
`\ge 2017`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\begin{cases}x^2y^2-1=0\\xy-1=0\\x=y\\x+y=2\end{cases}$`=>x=y=1\ (thỏa\ mãn)`
Vậy $GTNN$ của $P$ là $2017$ khi $x=y=1$
