Cho \(x,y \) là các số thực không âm. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P= \frac{ \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \left( 1-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)}{{{ \left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}{{ \left( 1+{{y}^{2}} \right)}^{2}}} \) là:A.\(\frac{1}{4}\)

namcombo1103

2 năm trước

Cho \(x,y \) là các số thực không âm. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P= \frac{ \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \left( 1-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)}{{{ \left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}{{ \left( 1+{{y}^{2}} \right)}^{2}}} \) là:
A.\(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D.\(1\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

trinhhuongtnhp6996

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Lời giải chi tiết.
Ta có \({{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}\ge ab,\,\,\forall a,b\,\,\left( 1 \right).\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) cho \(a=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)},\,\,\,b=\frac{1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\) ta nhận được
\(P=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}.\frac{1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\le \frac{1}{4}{{\left( \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{\left( \frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 1-{{y}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}.\)
Mặt khác ta lại có \(0\le \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}\le 1,\,\,\forall y\) nên \(P\le \frac{1}{4}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}\\{\left( {1 - {y^2}} \right)^2} = {\left( {1 + {y^2}} \right)^2}\\x \ge 0,\,y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Chọn đáp án A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Khi BC=AM, hãy chứng minh tia MI đi qua trung điểm của đoạn AC
A.click để xem lời giải
B.click để xem lời giải
C.click để xem lời giải
D.click để xem lời giải

Parabol (P): \(y = 2{x^2} - 4x + 3 \) có trục đối xứng là đường thẳng:
A.\(x = - 1\)
B.\(y = - 1\)
C.\(x = 1\)
D.\([y = 1\)

Số \({3^{2005}} \) có chữ số tận cùng là
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(4\)

Không tính trực tiếp hãy so sánh:
a) \({2^{300}} \) và \({3^{200}} \) b) \({202^{303}} \) và \({303^{202}} \)
A.\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{300}} > {3^{200}}\\b)\,\,{303^{202}} > {202^{303}}\end{array}\)
B.\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{300}} < {3^{200}}\\b)\,\,{303^{202}} > {202^{303}}\end{array}\)
C.\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{300}} > {3^{200}}\\b)\,\,{303^{202}} < {202^{303}}\end{array}\)
D.\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{300}} < {3^{200}}\\b)\,\,{303^{202}} < {202^{303}}\end{array}\)

Tìm các số mũ \(n \) sao cho lũy thừa \({3^n} \) thỏa mãn điều kiện: \(25 < {3^n} < 250 \)
A.\(n \in \left\{ {3;\,4;\,5} \right\}\)
B.\(n \in \left\{ {3;\,4} \right\}\)
C.\(n \in \left\{ {4;\,5} \right\}\)
D.\(n \in \left\{ {2;\,3;\,4;\,5} \right\}\)

Tính: \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}} \)
A.\(A = \frac{{{2^{101}} + 1}}{2}\)
B.\(A = \frac{{{2^{101}} - 1}}{2}\)
C.\(A = {2^{101}} - 1\)
D.\(A = {2^{101}} + 1\)

Trong trường \(A \) có \(155 \) cuốn sách Toán và Văn. Dự định trong thời gian tới nhà trường sẽ mua thêm \(45 \) cuốn sách Văn và Toán., trong đó số sách Văn bằng \( \frac{1}{3} \) số sách Văn hiện có; số sách Toán bằng \( \frac{1}{4} \) số sách Toán hiện có. Tính số sách Văn, Toán có trong thư viện.
A.\(85\) cuốn và \(70\) cuốn
B.\(75\) cuốn và \(80\) cuốn
C.\(80\) cuốn và \(75\) cuốn
D.\(70\) cuốn và \(85\) cuốn

Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ \(A \) và \(B \) ngược chiều nhau về phía nhau. Tính quãng đường \(AB \) và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau \(2 \) giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đường \(AB \) là \(10km \) và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau \(1 \) giờ \(24 \) phút.
Độ dài quãng đường \(AB \) và vận tốc của mỗi xe lần lượt là:
A.\(160km;40km/h\) và \(30km/h\)
B.\(140km;40km/h\) và \(30km/h\)
C.\(160km;40km/h\) và \(50km/h\)
D.\(140km;40km/h\) và \(50km/h\)

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A.\(y = - 2x + 2016\)
B.\(y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2017\)
C.\(y = {x^2} - 2x + 2\)
D.\(y = \left| x \right|\)

Cho tập hợp \(A = \left[ { - 5,3} \right). \). Tập hợp \({C_R}A \) là:
A.\(\left( { - \infty , - 5} \right) \cup \left[ {3, + \infty } \right)\)
B.\(\left( {5, + \infty } \right)\)
C.\(\left[ {3; + \infty } \right)\)
D.\(\left( { - \infty , - 5} \right)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến