Đáp án:

Vậy Min của $P$ là $45$ tại $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$  hoặc  $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}}} \right.$

Giải thích các bước giải:

$ĐK : x > 0 , y > 0$

$P = (x⁴ +1)(y⁴+1)$

$P= x⁴y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1$

$P = x⁴y⁴ - 2x²y² +1 +(x⁴ +2x²y²+ y⁴)$

$P= x⁴y⁴ - 2x²y² + 1 + (x² + y²)²$

$P= x⁴y⁴ - 2x²y² + 1 + [(x + y)² -2xy]²$

$P= x⁴y⁴ - 2x²y² + 1 + [(\sqrt{10})² - 2xy]²$

$P= x⁴y⁴ - 2x²y² + 1 + (10 - 2xy)²$

$P=x⁴y⁴ - 2x²y²+1 +100-40xy+4x²y²$

$P= x⁴y⁴ + 2x²y² - 40xy + 101$

$P= (x⁴y⁴ - 8x²y² + 16)+ (10x²y²-40xy+ 40) +45$

$P = (x²y² - 4)²+ 10(x²y² - 4xy+4)+45$

$P = (x²y² - 4)² + 10(xy - 2)² + 45$

$ta$ $có:$$(x²y²-4)²\geq0$ $;$ $10(xy-2)²\geq0$

$→(x²y² - 4)² + 10(xy - 2)² + 45\geq45$

$→ P \geq 45$

Dấu "=" xảy ra $⇔\left \{ {{x²y²-4=0} \atop {xy-2=0}} \atop{x+y=\sqrt{10}} \right.$

$⇔\left \{ {{x²y² = 4} \atop {xy=2}}\atop{x+y=\sqrt{10}}\right.$

$⇔\left \{ {{\left[\begin{array}{l}xy=2\\xy=-2\end{array}\right.} \atop {xy=2}}\atop{x+y = \sqrt{10}}\right.$

$⇔\left \{ {{xy=2} \atop {x+ y=\sqrt{10}}} \right.$ 

$⇔\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ $(tmđk)$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}}} \right.$   $(tmđk)$

Vậy Min của $P$ là $45$ tại $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$   hoặc   $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}}} \right.$

Đáp án:

`P_{min}=45` khi `(x;y)\in {({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2)}`

Giải thích các bước giải:

`\qquad x+y=\sqrt{10}` `(x;y>0)`

`<=>(x+y)^2=10`

`<=>x^2+y^2=10-2xy`

`<=>(x^2+y^2)^2=(10-2xy)^2`

`<=>x^4+y^4+2x^2y^2=100-40xy+4x^2y^2`

`<=>x^4+y^4=100+2x^2y^2-40xy`

Ta có:

`\qquadP=(x^4+1)(y^4+1)`

`=x^4y^4+x^4+y^4+1`

`=x^4y^4+100+2x^2y^2-40xy+1`

`=(x^4y^4-2.x^2y^2 .4+4^2)+10(x^2y^2-2.xy.2+2^2)+45`

`=(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45`

Với mọi `x;y>0` ta có:

$\begin{cases}(x^2y^2-4)^2\ge 0\\(xy-2)^2\ge 0\end{cases}$

`=>(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2\ge 0`

`=>(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45\ge 45`

`=>P\ge 45`

Dấu "=" xảy ra khi:

$\quad \begin{cases}(x^2y^2-4)^2=0\\(xy-2)=0\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}xy=2\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$

Theo hệ thức Viet đảo

`=>x;y` là nghiệm của phương trình sau:

`\qquad t^2-\sqrt{10}t+2=0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}t=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\\t=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\ (thỏa\ đk)$

Vậy $GTNN$ của $P$ bằng $45$ khi `(x;y)\in {({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2)}`