Đặt a = x+y-z, b = y+z-x , c = z+x-y
Cần cm: abc ≤ $\frac{a+b}{2}$ . $\frac{b+c}{2}$. $\frac{c+a}{2}$
⇔ 8abc ≤ ( a+b )( b+c )( c+a ) (*)
Do tổng 2 số bất kì trong 3 số a,b,c luôn dương nên có ít nhất 2 số trong 3 số a,b,c dương
+, Nếu trg 3 số a, b, c chỉ có 2 số dương
⇒ (*) lđ (1)
+, Nếu a, b, c >0, ta có: a+b ≥ 2$\sqrt[]{ab}$
b+c ≥ 2$\sqrt[]{bc}$ ( cosi cho 2 số dg )
c+a ≥ 2$\sqrt[]{ca}$
⇒ 8abc ≤ ( a+b )( b+c )( c+a ) ( do a,b,c>0) ⇒ (*) lđ (2)
Từ (1), (2) ⇒đpcm
