Giải thích các bước giải:
Ta có bất đẳng thức phụ sau:$x^5+y^5 \geq x^2y^2(x+y)$
$⇔(x-y)^2.(x+y).(x^2+xy+y^2) \geq 0$ (Luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
$⇒\frac{xy}{x^5+xy+y^5} \leq \frac{xy}{xy+x^2y^2(x+y)} =\frac{1}{1+xy(x+y)}=\frac{z}{x+y+z}$ (1)
Chứng minh tương tự với hai vế còn lại:
$⇒\frac{yz}{y^5+yz+z^5} \leq \frac{x}{x+y+z}$ (2)
$⇒\frac{xz}{x^5+xz+z^5} \leq \frac{y}{x+y+z}$ (3)
Cộng các vế trên lại với nhau, $(1)+(2)+(3)$:
$⇒VT \leq \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1$
->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$
