Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=1\) thì \(P=\dfrac{3}{2}\)
Ta sẽ chứng minh \(P_{Min}=\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{xy+1}=\dfrac{z}{xyz+z}=\dfrac{z}{z+1}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng vào:
\(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
Hay cần chứng minh \(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x}{x+1}\cdot\dfrac{y}{y+1}\cdot\dfrac{z}{z+1}}\)
\(=3\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}=\dfrac{3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Tức cần chứng minh \(\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge8\) với mọi \(x,y,z>0\) và \(xyz=1\)
Áp dụng tiếp AM-GM có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge2\sqrt{x}\\y+1\ge2\sqrt{y}\\z+1\ge2\sqrt{z}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge8\sqrt{xyz}=8\)
BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM
Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
