Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2}} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}.\)A.\(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)B.\(\frac{{

vuongthihongtham2211

2 năm trước

Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2}} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}.\)
A.\(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
B.\(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\frac{{3\sqrt 2 }}{5}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 29 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

mimosa

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Trước hết ta có BĐT quen thuộc sau với \(a,\;b,\;c > 0\) thì : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.\)
Thật vậy : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9.\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}}\end{array} \right. \Rightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}} = 9.\)
Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)
Áp dụng BĐT Cô-si quen thuộc : \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6 = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} \\ \le \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {6{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 6.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} }}\\ \ge \frac{{6 - \left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{y^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\\ = \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ \ge \frac{{6.9}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} } \right)}} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ = \frac{{6.9}}{{6\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.6 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + {z^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 4\\{x^2} + {y^2} = 4\\{z^2} + {x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} = {z^2} = 2 \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 2 .\)
Vậy \(Min\;M = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) khi \(x = y = z = \sqrt 2 .\)
Chọn C

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trước những đợt tấn công, càn quét mới của giặc (1884 – 1892), nghĩa quân Yên Thế buộc phải
A. tiến hành hòa hoãn lần thứ nhất với thực dân Pháp.
B.tiến hành hòa hoãn lần thứ hai với thực dân Pháp.
C.rút dần lên Bắc Yên Thế, xây dựng và củng cố hệ thống phù thủ.
D. ngấm ngầm chuẩn bị lực lượng chống Pháp.

Từ năm 1898 đến năm 1908, Đề Thám đã tranh thủ thời gian hòa hoãn để cho nghĩa quân
A.sản xuất, tich cực luyện tập quân sự tại Phồn Xương.
B. tích cực tấn công quân Pháp gây cho chúng nhiều thiệt hại.
C.di chuyển liên tục từ nơi này sang nơi khác.
D.chi nhỏ thành từng toán trà trộn vào dân.

Trong lần giảng hòa lần thứ hai (12-1897), nghĩa quân Yên Thế đã phải tuân theo những điều kiện nào do Pháp đặt ra?
A.giải tán toàn bộ nghĩa quân.
B.nộp khí giới, thường xuyên trình diện Pháp.
C.phải chia nhỏ từng toán, trà trộn vào dân để hoạt động.
D. chấm dứt các hoạt động chuẩn bị lực lượng.

Phong trào Cần vương cuối thế kỉ XIX có mục tiêu chủ đạo là
A.giành độc lập dân tộc.
B.chống thế lực phong kiến đầu hàng.
C.đấu tranh tự vệ, chống Pháp mở rộng bình định, chiếm đóng.
D.giúp vua dựng lại triều đình phong kiến tiến bộ.

Khởi nghĩa Yên Thế nổ ra với mục đích
A.giải phóng dân tộc.
B.chống Pháp mở rộng xâm lược.
C.hưởng ứng chiếu Cần Vương
D. tự vệ, bảo vệ cuộc sống của mình.

1) Giải phương trình: \(x\sqrt {2x + 3} + 3\left( {\sqrt {x + 5} + 1} \right) = 3x + \sqrt {2{x^2} + 13x + 15} + \sqrt {2x + 3} .\)
2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4y - 13 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} + y - 4} = 0\\\left( {x + y - 3} \right)\sqrt y + \left( {y - 1} \right)\sqrt {x + y + 1} = x + 3y - 5\end{array} \right..\)
A.1)  \(x = 3;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\)
2)  \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;1} \right).\)
B.1)  \(x = 6;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{2}\)
2)  \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;1} \right).\)
C.1)  \(x = 3;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {7} }}{2}\)
2)  \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {4;\;1} \right).\)
D.1)  \(x = 2;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {15} }}{2}\)
2)  \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {-3;\;1} \right).\)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2} + 5{y^2} - 4xy + 4x - 4y + 3 = 0.\)
2) Tìm tất cả các số nguyên dương \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn: \({x^2} + 3y\) và \({y^2} + 3x\) là số chính phương.
A.1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 11; - 3} \right)} \right\}.\)
2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;4} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)
B.1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { 3; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)
2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {2;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)
C.1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { 2; - 1} \right),\;\;\left( { 6; - 1} \right),\;\left( { 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)
2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {11;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)
D.1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)
2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC ?
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
B. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
C. \(a\)
D. \(\frac{a}{2}\)

Người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ 1 hộp chứa 3 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Tính xác suâtt để lấy được 2 viên bi trắng và 1 viên bi đen.
A. \(\frac{{17}}{{52}}\)
B. \(\frac{{17}}{{56}}\)
C. \(\frac{{15}}{{42}}\)
D. \(\frac{{15}}{{56}}\)

Khối lượng dung dịch trong bình tăng hay giảm bao nhiêu gam?
A.Khi CO2 thiếu thì m tăng 9,36 g CO2 dư, m tăng 6,16 gam
B.Khi CO2 thiếu thì m giảm 9,36 g CO2 dư, m giảm 6,16 gam
C.Khi CO2 thiếu thì m tăng 6,16 g CO2 dư, m tăng 9,36 gam
D.Khi CO2 thiếu thì m giảm 9,36 g CO2 dư, m tăng 6,16 gam

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến