Ta chứng minh với a,b,c >0 thì (a+b+c)( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ )≥ 9 (*)
Thật vậy, (*) ⇔ 3 + $\frac{a}{b}$ +$\frac{a}{c}$ +$\frac{b}{a}$ +$\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{a}$ +$\frac{c}{b}$ ≥ 9
⇔ ($\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$-2) + ($\frac{a}{c}$ +$\frac{c}{a}$-2) + ($\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$-2) ≥ 0
⇔ $\frac{a^2 -2ab+b^2}{ab}$ +$\frac{a^2-2ac+c^2}{ac}$ +$\frac{b^2-2bc+c^2}{bc}$ ≥ 0
⇔ $\frac{(a-b)^2}{ab}$ +$\frac{(a-c)^2}{ac}$ +$\frac{(b-c)^2}{bc}$ ≥0 (luôn đúng với a,b,c >0)
Dấu ''='' xảy ra ⇔ a=b=c
Có: 3-D= (1-$\frac{x}{2x+y+z}$) + (1-$\frac{y}{x+2y+z}$)+ (1-$\frac{z}{x+y+2z}$)
= $\frac{x+y+z}{2x+y+z}$ +$\frac{x+y+z}{x+2y+z}$+$\frac{x+y+z}{x+y+2z}$
= (x+y+z) ($\frac{1}{2x+y+z}$ +$\frac{1}{x+2y+z}$+$\frac{1}{x+y+2z}$)
= $\frac{1}{4}$ . [(2x+y+z)+ (x+2y+z) +(x+y+2z) ]($\frac{1}{2x+y+z}$ +$\frac{1}{x+2y+z}$+$\frac{1}{x+y+2z}$) ≥ $\frac{1}{4}$ . 9 (theo cmt)
⇒ 3-D≥ 9/4 ⇔ D≤ 3/4
Dấu ''='' xảy ra ⇔ 2x+y+z=x+2y+z=x+y+2z⇔x=y=z
