Đáp án:
để `AD⊥BE` thì `AC=`$\sqrt[]{162}(cm)$
Giải thích các bước giải:
Lý thuyết:
Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
Lời giải:
Ta có hình vẽ:
( Xem hình ảnh)
Đặt `BC=a(cm),AC=b(cm).`
`text{Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:}`
`BC^2=AB^2+AC^2⇒a^2=9^2+b^2⇔a^2=81+b^2` (1)
Xét tam giác vuông `ABC` có đường trung tuyến `AD` ứng với cạnh huyền `BC.`
`⇒AD=1/2BC=1/2a.`
Vì `G` là trọng tâm tam giác `ABC` nên ta có:
`AG=2/3AD=1/3a` và `BG=2/3BE.`
Giả sử `BE⊥AD.`
`text{Áp dụng định lí Pytago trong hai tam giác vuông GAB và ABE ta có:}`
`AB^2=GB^2+AG^2⇒9^2=4/9BE^2+(a^2)/9⇒4/9BE^2=81−(a^2)/9` (2)
`BE^2=AB^2+AE^2⇒BE^2=81+(b^2)/4` (3)
`text{Thay (3) và (1) vào (2) ta được:}`
`4/9(81+b^2/4)=81−(81+b^2)/9`
`⇔4/9. 81+4/9.(b^2)/4=(648−b^2)/9`
`⇔324/9+b^2/9=(648−b^2)/9`
`⇒324+b^2=648−b^2`
`⇔b^2+b^2=648−324`
`⇔b^2=162`
`⇒b=`$\sqrt[]{162}(cm)$
`⇒AC=`$\sqrt[]{162}(cm)$
Vậy để `AD⊥BE` thì `AC=`$\sqrt[]{162}(cm)$
