Bài toán bổ sung :
Chứng minh công thức ` 1^3 + 2^3 +3^3+ ....+n^3 = (1+2+3+....+n)^2`
Bài giải : Chứng minh quy nạp
Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )
Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )
Giả sử điều trên đúng với `n =k` ; ta sẽ chứng minh với `n = k+1` cũng đúng
Ta có
` 1^3 +2^3 + ..... +k^3 = ( 1 + 2 + ..... + k )^2`
` => 1^3 + 2^3 +..... + k^3 + (k+1)^3 = ( 1 + 2 +..... +k )^2 + (k+1)^3`
` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`
Cần chứng minh :
` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`
Đẳng thức cần chứng minh tương đương
` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`
` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`
Đẳng thức được chứng minh
Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +...... + n^3 = (1+2+3+......n)^2 `
-------------
Áp dụng ta có
` 1^3 +2^3 = (1+2)^2`
` => \sqrt(1^3+2^3) = \sqrt((1+2)^2) = 1+2`
` => 1/(\sqrt(1^3+2^3)) = 1/(1+2)`
CMTT với các phân thức còn lại
.....
`1/(\sqrt(1^3+2^3+3^3+...+n^3)) = 1/((\sqrt(1+2+3+....+n))^2) = 1/(1+2+3+...+n)`
Vậy ta có điều phải chứng minh (Done)
