Chứng minh (2a^2)/(a+b^2 )+(2b^2)/(b+c^2 )+(2c^2)/(c+a^2 )≥a+b+c
Cho các số thực dương a, b, c thỏa a^2+b^2+c^2=3 chứng minh (2a^2)/(a+b^2 )+(2b^2)/(b+c^2 )+(2c^2)/(c+a^2 )≥a+b+c
Cách khác:
Khi \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\), viết lại BĐT cần c/m
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=x\\b^2=y\\c^2=z\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=3\) và lợi dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=Σ\dfrac{x}{\sqrt{x}+y}=Σ\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{x\left(x+y+z\right)}{3}+y}}\)
\(=Σ\dfrac{6x}{2\sqrt{3x\left(x+y+z\right)}+6y}\geΣ\dfrac{6x}{3x+x+y+z+6y}\)
\(=Σ\dfrac{6x}{4x+7y+z}=Σ\dfrac{6x^2}{4x^2+7xy+xz}\ge\dfrac{6\left(x+y+z\right)^2}{Σ\left(4x^2+7xy+xz\right)}=\dfrac{3}{2}=VP\)
Tìm Dmin = 9x^2 + 3x + 1/x + 1420
cho x>0, tìm Dmin = 9x2 + 3x + 1/x + 1420
Tìm Min, Max B= căn(a + b) + căn(b + c)+ căn(c + a)
cho a,b,c>0 và a + b + c = 1
Tìm Min, Max B=\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường trong (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh: a) CD//OA b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Cho biết R = 15cm, BC = 24CM. Tính AB, OA d) Gọi I là trung điểm của HN. Từ H kẻ đường vuông góc với BI cắt BM tại E. Chứng minh: M là trung điểm của BE.
Tính 1/x^2+1+1/y^2+1≥1/xy+1
\(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\ge\dfrac{1}{xy+1}\)
Chứng minh 1/x^2+4yz + 1/y^2+4zx + 1/z^2+4xy
cho x,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=4 CMR
\(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4zx}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{xyz}\)
Chứng minh x^2+y^2=1
cho x,y,m \(\in R\) thỏa \(\left\{\begin{matrix}2x-my=m\\mx+y=\frac{3m^2+4}{m^2+4}\end{matrix}\right.\)
a)CMR \(x^2+y^2=1\)
b) tìm MIN và Max của \(x^3+y^3\)
Thực hiện phép tính (căn8−3căn2+căn10):căn2−căn5
Thực hiện phép tính
a ) \(\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right):\sqrt{2}-\sqrt{5}\)
b ) \(\sqrt{21+8\sqrt{5}}+\sqrt{21-8\sqrt{5}}\)
c ) \(\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt{5}}}\)
d ) \(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\)
Giải phương trình 2x^2+4x+3=3căn(x^2+x+1)+x^2+3x
1) CMR \(\sqrt{a +\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\) với a\(\ge\)\(\sqrt{b}\)
2)GPT \(2x^2+4x+3=3\sqrt{x^2+x+1} +x^2+3x\)
Rút gọn B =(3căn2 + căn6 ) căn(6 − 3căn3)
Rút gọn
B = \(\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\sqrt{6-3\sqrt{3}}\)
Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
Cho đường tròn tâm (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M; N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC; d không đi qua tâm O).
1. Chứng minh: Tứ giác AMON nội tiếp.
2. Tia OI cắt (O) tại K, NK cắt BC tại P. Gọi Q là giao điểm MP và OK. Cm tứ giác CQBN nội tiếp
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến