Để hàm số trên là hàm bậc nhất thì
$\begin{array}{l} \left| {m - 1} \right| + 5 \ne 0\\ \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| \ne - 5 \end{array}$
Điều này luôn đúng vì $|m+1|\ge 0 \forall m$ mà $-5<0$ nên $|m-1|\ne -5 \forall m$
Vậy hàm số trên luôn là hàm bậc nhất.