Bạn thi hsg nên mình sẽ gợi ý cách làm như sau:
a)
$BFEC$ nội tiếp có $EF$ cắt $BC$ tại $K$
$\to KB.KC=KF.KE$
$ALBC$ nội tiếp có $AL$ cắt $BC$ tại $K$
$\to KB.KC=KL.KA$
$\to KF.KE=KL.KA$
$\to ALFE$ nội tiếp
Mặt khác $AFHE$ cũng nội tiếp
Nên ngũ giác $ALFHE$ nội tiếp được đường tròn
$\to \widehat{ALH}=\widehat{AFH}=90{}^\circ $
$\to HL\bot AK$
b)
Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $D$
$\to AD\bot BC$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
Bạn thi hsg nên chắc sẽ biết một bài toán quen thuộc đó là chứng minh $MDFE$ là tứ giác nội tiếp
$MDFE$ nội tiếp có $FE$ cắt $DM$ tại $K$
$\to KF.KE=KD.KM$
$\to KL.KA=KD.KM$
$\to ALDM$ nội tiếp
$\to \widehat{ALM}=\widehat{ADM}=90{}^\circ $
$\to ML\bot AK$
Mà $HL\bot AK$
$\to M,H,L$ thẳng hàng
$\to HL$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$
c)
Theo hệ thức lượng trong $\Delta ATB$, ta có:
$A{{T}^{2}}=AF.AB$
mà $AF.AB=AE.AC$
nên $A{{T}^{2}}=AE.AC$
$\to AT$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CET$
Mặt khác,
$EFBC$ nội tiếp $\to \widehat{KFB}=\widehat{ACB}$
$ALBC$ nội tiếp $\to \widehat{KLB}=\widehat{ACB}$
$\to \widehat{KFB}=\widehat{KLB}$
$\to KLFB$ nội tiếp
Có $KL$ cắt $BF$ tại $A$
$\to AF.AB=AL.AK$
$\to A{{T}^{2}}=AL.AK$
$\to AT$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta KLT$
$\to AT$ là tiếp tuyến chung hai đường tròn
$\to $ hai đường tròn tiếp xúc với nhau
