Đặt $A=n^4-1$ .

$A=\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)$

Vì $\left(n,3\right)=1$ nên n không chia hết cho 3.

$\Rightarrow n$ chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

. Nếu n chia 3 dư 1 thì: $\left(n-1\right)$ chia hết cho $3.$

$\Rightarrow A$ chia hết cho $3.$

. Nếu n chia 3 dư 2 thì: $\left(n+1\right)$ chia hết cho $3.$

$\Rightarrow A$ chia hết cho $3.$

Như vậy $A$ chia hết cho $3.$

Lại có: n đề cho lại là số lẻ

$\Rightarrow n-1$ và $n+1$ là 2 số chẵn liên tiếp.

$\Rightarrow\left[\left(n-1\right).\left(n+1\right)\right]$ chia hết cho $8$. $\left(1\right)$

Mặt khác n lẻ

$\Rightarrow\left(n^2+1\right)$ chia hết cho $2.$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra: $\left[\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)\right]$chia hết cho $16$ hay $A$ chia hết cho $16.$

Ta có:$A$ chia hết cho $3$, $A$ chia hết cho $16$

Mà $\left(3,16\right)=1$

$\Rightarrow A$ chia hết cho $48.$

Hay $n^4-1$ chia hết cho $48.$ ( đpcm )