Có: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=6^2-2\cdot9=18\)

* CM: a,b,c>0

Ta có: \(9=ab+bc+ca< a\left(b+c\right)+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}=a\left(6-a\right)+\dfrac{\left(6-a\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3a^2}{4}-3a< 0\)\(\Rightarrow0< a< 4\)\(\Rightarrow0< a< b< c\)

Lại có: \(18=a^2+b^2+c^2< ac+bc+c^2=c\left(a+b+c\right)=6c\)

\(\Rightarrow c>3\)

*CM: c < 4:

Giả sử: \(c\ge4\Rightarrow c^2\ge4c\)

Suy ra: \(18=a^2+b^2+c^2>\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+4c=\dfrac{\left(6-c\right)^2}{2}+4c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c^2}{2}-2c< 0\) => 0 < c < 4

=> Điều giả sử là sai => c < 4

*CM a < 1:

giả sử: \(1\le a< b< c< 4\),

khi đó ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(a-4\right)\le0\left(1\right)\\\left(b-1\right)\left(b-4\right)< 0\left(2\right)\\\left(c-1\right)\left(c-4\right)< 0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

cộng theo vế (1),(2),(3) ta được:

\(a^2+b^2+c^2\le5\left(a+b+c\right)-12\)

\(\Leftrightarrow18< 5\cdot6-12=18\) (vô lí)

=> Giả sử sai => a < 1

Ta có: a < 1; c < 4

=> \(b=6-a-c>6-1-4=1\)

cần cm: b < 3. Giả sử \(b\ge3\), ta có:\(\left(b-3\right)\left(c-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow bc\ge3\left(b+c\right)-9=3\left(6-a\right)-9=9-3a\)

\(\Rightarrow9=ab+bc+ca=a\left(b+c\right)+bc\ge a\left(b+c\right)+9-3a\)

\(\Rightarrow a\left(b+c-3\right)\le0\) (sai vì: a>0; b+c>3)

=> giả sử b ≥ 3 là sai => b<3

Từ các CM trên => \(0< a< 1< b< 3< c< 4\)

→ đpcm